\subsection{Momentligninger}
\label{mobelbestemmelse-kran-momentligninger}
For at beskrive kræfterne på kranen ses der separat på slæden og lasten. Figur \ref{fig:kran-moment-slaede} viser hvilke kræfter, der påvirker slæden, og figur \ref{fig:kran-moment-last} viser hvilke kræfter, der påvirker lasten.

\begin{figure}[h]
\begin{minipage}[b]{0.45\linewidth}
\centering
\includegraphics[width = 1\textwidth]{billeder/modellering/fritlegemeslaede.pdf}
\caption{Fritlegemediagram for slæden.}
\label{fig:kran-moment-slaede}
\end{minipage}
\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[b]{0.45\linewidth}
\centering
\includegraphics[width = 0.7\textwidth]{billeder/modellering/fritlegemelast.pdf}
\caption{Fritlegemediagram for lasten.}
\label{fig:kran-moment-last}
\end{minipage}
\end{figure}

Der er set på momenterne, der påvirker slæden og lasten individuelt i hvert plan. Det er derfor nødvendigt med to ligninger for henholdsvis slæden og lasten. Det er dog ikke nødvendigt at se på momenterne i $y$-planet for slæden, da normalkraften vil opveje tyngdekraften og snorkraften. For slædens bevægelse i $x$-aksens retning er det nødvendigt, at opstille en ligning for de samlede kræfter, der påvirker slæden, hvilket er gjort i formel \eqref{eq:momentslaede}.

\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
\label{eq:momentslaede}
M_\text{slæde} \cdot \ddot{x}_\text{slæde} = F_{\text{s,x}} + \frac{\tau_\text{wire,x}}{r_\text{5,x}} - B_\text{v,slæde} \cdot \dot{x}_\text{slæde} - F_\text{c} \cdot sgn\left(\dot{x}_\text{slæde}\right)
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $\ddot{x}_\text{slæde}$ er slædens acceleration [$\acc$] \\
\> $\dot{x}_\text{slæde}$ er slædens hastighed [$\has$]\\
\> $F_{\text{s,x}}$ er snorens påvirkning af slæden i x-aksens retning [N] \\
\> $\tau_\text{wire,x}$ er momentet på wiren [N$\cdot$m] \\
\> $r_\text{5,x}$ er wiretromlens radius [m] \\
\> $B_\text{v,slæde}$ er viskosefriktionen mellem slæde og bjælke [$\nicefrac{\text{N} \cdot \text{s}}{\text{m}}$] \\
\> $F_\text{c}$ er coulombfriktionen mellem slæde og bjælke [N]
\end{tabbing}

Efter samme princip opstilles momentligninger for lasten i henholdsvis $x$- og $y$-aksens retning, hvilket kan ses i ligning \eqref{eq:momentlast}. For at bestemme momentet i $x$- og $y$-aksens retning kigges på figur \ref{fig:kran-moment-last}. 

\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
\label{eq:momentlast}
\textbf{F}_{\text{last}} =
\begin{bmatrix}
 M_\text{last} \cdot \ddot{x}_\text{last} \\
 M_\text{last} \cdot \ddot{y}_\text{last}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 - F_{\text{s}} \cdot \sin(\theta_{\text{last}}) - F_{\psi} \cdot \cos(\theta_{\text{last}}) \\
 M_\text{last} \cdot g - F_{\text{s}} \cdot \cos(\theta_{\text{last}}) + F_{\psi} \cdot \sin(\theta_{\text{last}})
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $M_\text{last}$ er lastens masse [kg]\\
\> $\ddot{x}_\text{last}$ er lastens acceleration i x-aksens retning [$\acc$]\\
\> $\ddot{y}_\text{last}$ er lastens acceleration i y-aksens retning [$\acc$]\\
\> $F_{\psi}$ er friktionskraften mellem snoren og trissen [N]
\end{tabbing}
\clearpage
%Der kan ses at krafterne i x- og y-aksens retning umiddelbart begge er uafhængige af tyngdekraften, hvilket ikke er den fulde sandhed. Da x-aksen er orthogonal på tyngdekraften er der ingen afhængighed, hvilket imidlertid ikke gælder for y-aksens retning. Tyngdekraften udgår idet snorkraften er: $M_{\text{last}} \cdot g - M_{\text{last}} \cdot \ddot{y}_\text{last} $. Dette betyder dog ikke at tyngdekraften intet har at sige. For kranen er det ikke muligt at snorkraften bliver negativ, da dette ville betyde motoren skubbede lasten ned, hvilket opstillingen ikke er i stand til. Den maksimale acceleration ned er derfor tyngdeaccelerationen, dette ses dog ikke som en begrænsning systemet realistisk opnår, og vil derfor ikke behandles videre.